מנעולי קומבינציה – חישוב אופציות

אחד מהגורמים האחראיים לרמת האבטחה של המנעול הוא מספר השילובים האפשריים לקוד. ככל שהמספר גבוה כך יהיה יותר קשה לפרוץ אותו על ידי בחירה אקראית של מספרים. מאמר זה דן הן בחישובי האופציות מההיבט המתמטי והאטימולגי של השם.

מנעול קומבינציה

מנעול קומבינציה (‘צירופים’, Combination lock), נקרא גם מנעול מספרים, מנעול קוד. המנעול נפוץ כמנעולי אופניים ומנעולי תליה עם מס’ גלגלות/דיסקיות ונפוצים לשימוש יומיומי.

מספר השילובים האפשריים לקוד הוא מספר ספרות/אותיות/סמלים בחזקת מספר הגלגלות.

לדוגמא, בתמונה לעיל יש מנעול תליה קומבינציה עם 5 גלגלות שנעות בטווח הספרות 0-9. הנוסחה היא מספר הספרות/אותיות האפשריות בחזקת הלחצנים, שזה 10⁵=100,000. באופן דומה במנעול עם 3 גלגלות החישוב הוא 10³=1,000. ובמנעול עם 4 גלגלות החישוב הוא בהתאם 10⁴=10,000.

השם מנעול קומבינציה (‘צירופים’, Combination lock) לא כל כך מדויק, שהרי יש משמעות לסדר, כלומר קוד 1234 לא יפתח מנעול עם קוד של 4321. היה צריך להקראות לכאורה Permutation Lock, (ליתר דיוק זה Permutations with repetition).

מנעול קוד מכני

מנעול קוד מכני (Push Button Lock), מכונה גם מנעול מספרים, הוא מנעול המותקן על גבי דלתות והוא מורכב ממערכת לחצנים של (בדרך כלל) 14 כפתורים בהם יש ללחוץ על 13 כפתורים מתוך ה- 14. ישנן 10 כפתורים המוקצים לספרות 0-9 ועוד 3 אותיות XYZ. האות C היא אות מנטרלת לחיצות קודמות. קיימים גם מנעולים עם מספר שונה של לחצנים, כמו מנעול עם 9 ספרות ללא אותיות.

במנעול זה מרכיבים קוד על ידי בחירה מספר כלשהו של לחצנים, 1-13 בדרך כלל, לא ניתן לחזור על לחצן יותר מפעם אחת, וכן אין משמעות לסדר, כלומר, קוד 1234 גם יפתח מנעול עם קוד 4321.

מספר השילובים האפשריים לקוד הוא 2 בחזקת מספר הלחצנים. (הסבר: כל לחצן יכול להיות בקוד או לא להיות. ע”ע Power Set). אמנם אי אפשר שיהיה “קוד ריק” ששום לחצן לא מופיע, לכן יש להחסיר 1.

החישוב במערכת קוד בת 13 כפתורי לחיצה פעילים הם 2¹³-1 שהן 8,191 אופציות, ובמערכת קוד 9 לחצנים החישוב הוא 2⁹-1 שזה 511 אופציות.

מנעול קוד מכני – SIMPLEX

למנעול יש 5 כפתורים לא מסומנים עם כללים ייחודים :

1. ניתן להשתמש בכל כפתור
2. ניתן ללחוץ על 2 לחצנים בו זמנית – במקביל
3. לא ניתן ללחוץ על אותו כפתור פעמיים
4. יש חשיבות לסדר הלחיצות

דוגמאות ליצירת קודים במנעול סימפלקס :

• 1+2+3 | 4+5 לוחצים על 1, 2, 3 ואז לוחצים על 4,5 במקביל
• 4+5 | 1+2+3 לוחצים על 5,4 בו-זמנית, ואז לוחצים על 1,2,3 בו-זמנית
• 1+2+ 3+ 4+ 5 לוחצים על כל 5 הכפתורים בו-זמנית
• 1 | 3 | 2 | 5 לוחצים על כל הכפתורים לפי הסדר

כדי לבדוק כמה הם מספר השילובים האפשריים למנעול הסימפלקס, מומלץ להסתייע בפתרונות של ספירות ופתרונות קומבינטוריות.

מנעול ללא כפתור מוגדר כמנעול עם אפס אפשרויות ומסומן () . מנעול עם כפתור אחד מייצר 2 אופציות. לחיצה או אי לחיצה. מורכבות החישוב במנעול הסימפלקס הוא העמידה בתנאי לחיצה במקביל וכן בחשיבות סדר הלחיצות. בטבלה להלן אנו רואים את סדר הפעולות וכן את סיכום 6 השילובים האפשריים ממנעול עם 2 כפתורי לחיצה.

1, 5, 25, 149, 1081, 9365, 94585, 1091669, 14174521,…

הערות/הארות

1. אי לחיצה מחושב כשילוב ויש להוסיף 1 לכל תוצאה ולכן יש 1,082 שילובים
2. ישנה טענה שכפתור מנעול הסימפלקס מכפיל את התוצאה הסופית והתוצאה בפועל היא 2,164 שילובים
3. במנעולי הסימפלקס ולמרות המספר הנמוך יחסית של הקומבינציות האפשריות (1081 או 2162) , הקושי הגדול הוא לאחזר את כל השילובים האפשריים שנובעים בחלקם הגדול משילוב של לחיצות כפולות במקביל בכל מיני וריאציות שמקשות על פריצה באמצעות ניחוש הקידוד
4. למידע מתמטי נוסף